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Popular Trigonometria >

sqrt(cos^2(2x)+1)+sin(2x)=2

Solução

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) = 2

Solução

x = \frac{π}{4} + πn

Graus

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) = 2

Subtrair

2

de ambos os lados

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) - 2 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 2 + sin (2 x) + 1 + cos^{2} (2 x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 + sin (2 x) + 1 + 1 - sin^{2} (2 x)

Simplificar

= - 2 + sin (2 x) + - sin^{2} (2 x) + 2

- 2 + sin (2 x) + 2 - sin^{2} (2 x) = 0

Usando o método de substituição

- 2 + sin (2 x) + 2 - sin^{2} (2 x) = 0

Sea:

sin (2 x) = u

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0 : u = 1

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Remova as raízes quadradas

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Subtrair

u

de ambos os lados

- 2 + u + 2 - u^{2} - u = 0 - u

Simplificar

2 - u^{2} - 2 = - u

Adicionar

2

a ambos os lados

2 - u^{2} - 2 + 2 = - u + 2

Simplificar

2 - u^{2} = - u + 2

Elevar ambos os lados ao quadrado :

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

(2 - u^{2})^{2} = (- u + 2)^{2}

Expandir

(2 - u^{2})^{2} : 2 - u^{2}

(2 - u^{2})^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((2 - u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (2 - u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= 2 - u^{2}

Expandir

(- u + 2)^{2} : u^{2} - 4 u + 4

(- u + 2)^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - u, b = 2

= (- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2}

Simplificar

(- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2} : u^{2} - 4 u + 4

(- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= (- u)^{2} - 2 u \cdot 2 + 2^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2} - 2 \cdot 2 u + 2^{2}

Simplificar

= u^{2} - 4 u + 4

= u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

Resolver

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4 : u = 1

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

Trocar lados

u^{2} - 4 u + 4 = 2 - u^{2}

Mova

u^{2}

para o lado esquerdo

u^{2} - 4 u + 4 = 2 - u^{2}

Adicionar

u^{2}

a ambos os lados

u^{2} - 4 u + 4 + u^{2} = 2 - u^{2} + u^{2}

Simplificar

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

Mova

2

para o lado esquerdo

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

Subtrair

2

de ambos os lados

2 u^{2} - 4 u + 4 - 2 = 2 - 2

Simplificar

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = - 4, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrair:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2} = 1

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = 1

A solução para a equação de segundo grau é:

u = 1

u = 1

Verifique soluções:

u = 1

Verdadeiro

Verificar as soluções inserindo-as em

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Inserir

u = 1 :

Verdadeiro

- 2 + 1 + 2 - 1^{2} = 0

- 2 + 1 + 2 - 1^{2} = 0

- 2 + 1 + 2 - 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= - 2 + 1 + 2 - 1

2 - 1 = 1

2 - 1

Subtrair:

2 - 1 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

= - 2 + 1 + 1

Somar/subtrair:

- 2 + 1 + 1 = 0

= 0

0 = 0

Verdadeiro

A solução é

u = 1

Substituir na equação

u = sin (2 x)

sin (2 x) = 1

sin (2 x) = 1

sin (2 x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (2 x) = 1

Soluções gerais para

sin (2 x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Resolver

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{4} + πn

Gráfico

Exemplos populares

8sin^2(x)2cos(x)=7,0<= x<= 2pi

8 sin^{2} (x) 2 cos (x) = 7, 0 \leq x \leq 2 π

2sin^2(x)-sin(x)+3=4

2 sin^{2} (x) - sin (x) + 3 = 4

9cos(2x)=9cos^2(x)-4

9 cos (2 x) = 9 cos^{2} (x) - 4

2-cos(x)=0

2 - cos (x) = 0

sin(1/x)=1

sin (\frac{1}{x}) = 1