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Beliebt Trigonometrie >

5cos(x)=4sin(x)+4

Lösung

5 cos (x) = 4 sin (x) + 4

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.22131 \dots + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12.68038 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (x) = 4 sin (x) + 4

Quadriere beide Seiten

(5 cos (x))^{2} = (4 sin (x) + 4)^{2}

Subtrahiere

(4 sin (x) + 4)^{2}

von beiden Seiten

25 cos^{2} (x) - 16 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 16 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 16 - 16 sin^{2} (x) + 25 cos^{2} (x) - 32 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 16 - 16 sin^{2} (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 32 sin (x)

Vereinfache

- 16 - 16 sin^{2} (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 32 sin (x) : - 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) + 9

- 16 - 16 sin^{2} (x) + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 32 sin (x)

Multipliziere aus

25 (1 - sin^{2} (x)) : 25 - 25 sin^{2} (x)

25 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 sin^{2} (x)

= - 16 - 16 sin^{2} (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 32 sin (x)

Vereinfache

- 16 - 16 sin^{2} (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 32 sin (x) : - 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) + 9

- 16 - 16 sin^{2} (x) + 25 - 25 sin^{2} (x) - 32 sin (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 sin^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 16 + 25

Addiere gleiche Elemente:

- 16 sin^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) = - 41 sin^{2} (x)

= - 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) - 16 + 25

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 16 + 25 = 9

= - 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) + 9

= - 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) + 9

= - 41 sin^{2} (x) - 32 sin (x) + 9

9 - 32 sin (x) - 41 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

9 - 32 sin (x) - 41 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

9 - 32 u - 41 u^{2} = 0

9 - 32 u - 41 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{9}{41}

9 - 32 u - 41 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 41 u^{2} - 32 u + 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 41 u^{2} - 32 u + 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 41, b = - 32, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 ( - 41 ) \cdot 9}{2 ( - 41 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm ( - 32 ) ^{2} - 4 ( - 41 ) \cdot 9}{2 ( - 41 )}

(- 32)^{2} - 4 (- 41) \cdot 9 = 50

(- 32)^{2} - 4 (- 41) \cdot 9

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 32)^{2} + 4 \cdot 41 \cdot 9

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 32)^{2} = 3 2^{2}

= 3 2^{2} + 4 \cdot 41 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 41 \cdot 9 = 1476

= 3 2^{2} + 1476

3 2^{2} = 1024

= 1024 + 1476

Addiere die Zahlen:

1024 + 1476 = 2500

= 2500

Faktorisiere die Zahl:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- ( - 32 ) \pm 50}{2 ( - 41 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 32 ) + 50}{2 ( - 41 )}, u_{2} = \frac{- ( - 32 ) - 50}{2 ( - 41 )}

u = \frac{- ( - 32 ) + 50}{2 ( - 41 )} : - 1

\frac{- ( - 32 ) + 50}{2 ( - 41 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{32 + 50}{- 2 \cdot 41}

Addiere die Zahlen:

32 + 50 = 82

= \frac{82}{- 2 \cdot 41}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{82}{- 82}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{82}{82}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 32 ) - 50}{2 ( - 41 )} : \frac{9}{41}

\frac{- ( - 32 ) - 50}{2 ( - 41 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{32 - 50}{- 2 \cdot 41}

Subtrahiere die Zahlen:

32 - 50 = - 18

= \frac{- 18}{- 2 \cdot 41}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 41 = 82

= \frac{- 18}{- 82}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{18}{82}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{9}{41}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{9}{41}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{9}{41}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{9}{41}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{9}{41} : x = arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

sin (x) = \frac{9}{41}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{9}{41}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{9}{41}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 cos (x) = 4 sin (x) + 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

5 cos (x) = 4 sin (x) + 4

ein, um zu lösen

5 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 4 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 4

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1

5 cos (x) = 4 sin (x) + 4

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1) = 4 sin (arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1) + 4

Fasse zusammen

4.87804 \dots = 4.87804 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1

5 cos (x) = 4 sin (x) + 4

ein, um zu lösen

5 cos (π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1) = 4 sin (π - arcsin (\frac{9}{41}) + 2 π 1) + 4

Fasse zusammen

- 4.87804 \dots = 4.87804 \dots

\Rightarrow Falsch

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{9}{41}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.22131 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

6sec^2(x)tan(x)=8tan(x)

6 sec^{2} (x) tan (x) = 8 tan (x)

csc(θ)=0

csc (θ) = 0

-sin^2(θ)+cos^2(θ)=-sin(θ)+1

- sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = - sin (θ) + 1

sin(x)=-2/5

sin (x) = - \frac{2}{5}

3sin(x)=sqrt(3)sin(x)+3cos(x)+3sin(x)

3 sin (x) = 3 sin (x) + 3 cos (x) + 3 sin (x)