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Popular Trigonometria >

sqrt(cos(x))=2cos(x)-1

Solução

cos (x) = 2 cos (x) - 1

Solução

x = 2 πn

Graus

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (x) = 2 cos (x) - 1

Usando o método de substituição

cos (x) = 2 cos (x) - 1

Sea:

cos (x) = u

u = 2 u - 1

u = 2 u - 1 : u = 1

u = 2 u - 1

Elevar ambos os lados ao quadrado :

u = 4 u^{2} - 4 u + 1

u = 2 u - 1

(u)^{2} = (2 u - 1)^{2}

Expandir

(u)^{2} : u

(u)^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (u^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= 1

= u

Expandir

(2 u - 1)^{2} : 4 u^{2} - 4 u + 1

(2 u - 1)^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2 u, b = 1

= (2 u)^{2} - 2 \cdot 2 u \cdot 1 + 1^{2}

Simplificar

(2 u)^{2} - 2 \cdot 2 u \cdot 1 + 1^{2} : 4 u^{2} - 4 u + 1

(2 u)^{2} - 2 \cdot 2 u \cdot 1 + 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2 u)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot u + 1

(2 u)^{2} = 4 u^{2}

(2 u)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} u^{2}

2^{2} = 4

= 4 u^{2}

2 \cdot 2 u \cdot 1 = 4 u

2 \cdot 2 u \cdot 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 1 = 4

= 4 u

= 4 u^{2} - 4 u + 1

= 4 u^{2} - 4 u + 1

u = 4 u^{2} - 4 u + 1

u = 4 u^{2} - 4 u + 1

Resolver

u = 4 u^{2} - 4 u + 1 : u = 1, u = \frac{1}{4}

u = 4 u^{2} - 4 u + 1

Trocar lados

4 u^{2} - 4 u + 1 = u

Mova

u

para o lado esquerdo

4 u^{2} - 4 u + 1 = u

Subtrair

u

de ambos os lados

4 u^{2} - 4 u + 1 - u = u - u

Simplificar

4 u^{2} - 5 u + 1 = 0

4 u^{2} - 5 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

4 u^{2} - 5 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 4, b = - 5, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 3

(- 5)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 5^{2} - 16

5^{2} = 25

= 25 - 16

Subtrair:

25 - 16 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 3}{2 \cdot 4}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 4}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{5 + 3}{2 \cdot 4}

Somar:

5 + 3 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 4} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 4}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{5 - 3}{2 \cdot 4}

Subtrair:

5 - 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2}{8}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 1, u = \frac{1}{4}

u = 1, u = \frac{1}{4}

Verifique soluções:

u = 1

Verdadeiro

, u = \frac{1}{4}

Falso

Verificar as soluções inserindo-as em

u = 2 u - 1

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Inserir

u = 1 :

Verdadeiro

1 = 2 \cdot 1 - 1

1 = 1

1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

2 \cdot 1 - 1 = 1

2 \cdot 1 - 1

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 1

Subtrair:

2 - 1 = 1

= 1

1 = 1

Verdadeiro

Inserir

u = \frac{1}{4} :

Falso

\frac{1}{4} = 2 (\frac{1}{4}) - 1

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Aplicar a regra

1 = 1

= \frac{1}{2}

2 (\frac{1}{4}) - 1 = - \frac{1}{2}

2 (\frac{1}{4}) - 1

Remover os parênteses:

(a) = a

= 2 \cdot \frac{1}{4} - 1

2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{4}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{4}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} - 1

Converter para fração:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot 2 + 1}{2}

- 1 \cdot 2 + 1 = - 1

- 1 \cdot 2 + 1

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= - 2 + 1

Somar/subtrair:

- 2 + 1 = - 1

= - 1

= \frac{- 1}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = - \frac{1}{2}

Falso

A solução é

u = 1

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = 1

cos (x) = 1

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluções gerais para

cos (x) = 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combinar toda as soluções

x = 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin^3(x)+cos^3(x)=0

sin^{3} (x) + cos^{3} (x) = 0

-sin(3x)*3=0

- sin (3 x) \cdot 3 = 0

2sin(4x)-sqrt(2)=0

2 sin (4 x) - 2 = 0

6tan(x)sin(x)=7sin(x)

6 tan (x) sin (x) = 7 sin (x)

cos(2x)+cos(x)+1=0

cos (2 x) + cos (x) + 1 = 0