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Beliebt Trigonometrie >

sec^2(x)-5tan(x)=-3

Lösung

sec^{2} (x) - 5 tan (x) = - 3

Lösung

x = 1.32581 \dots + πn, x = \frac{π}{4} + πn

+1

Grad

x = 75.96375 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec^{2} (x) - 5 tan (x) = - 3

Subtrahiere

- 3

von beiden Seiten

sec^{2} (x) - 5 tan (x) + 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 + sec^{2} (x) - 5 tan (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= 3 + tan^{2} (x) + 1 - 5 tan (x)

Vereinfache

3 + tan^{2} (x) + 1 - 5 tan (x) : tan^{2} (x) - 5 tan (x) + 4

3 + tan^{2} (x) + 1 - 5 tan (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= tan^{2} (x) - 5 tan (x) + 3 + 1

Addiere die Zahlen:

3 + 1 = 4

= tan^{2} (x) - 5 tan (x) + 4

= tan^{2} (x) - 5 tan (x) + 4

4 + tan^{2} (x) - 5 tan (x) = 0

Löse mit Substitution

4 + tan^{2} (x) - 5 tan (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

4 + u^{2} - 5 u = 0

4 + u^{2} - 5 u = 0 : u = 4, u = 1

4 + u^{2} - 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 5 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 5 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 5, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 3

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 4 = 16

= 5^{2} - 16

5^{2} = 25

= 25 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 16 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 1} : 4

\frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 + 3}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

5 + 3 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{2} = 4

= 4

u = \frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 - 3}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 4, u = 1

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = 4, tan (x) = 1

tan (x) = 4, tan (x) = 1

tan (x) = 4 : x = arctan (4) + πn

tan (x) = 4

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (x) = 4

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 4

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (4) + πn

x = arctan (4) + πn

tan (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arctan (4) + πn, x = \frac{π}{4} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.32581 \dots + πn, x = \frac{π}{4} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x/2)=cos(x)

cos (\frac{x}{2}) = cos (x)

sin(x+pi/4)=(sqrt(3))/2

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}

2sin(2x)=-sqrt(3)

2 sin (2 x) = - 3

sin(x)cos(x)-cos(x)=0

sin (x) cos (x) - cos (x) = 0

tan (x) = \frac{5}{2}