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2sin(2θ)-3sin(θ)=0

Lösung

2 sin (2 θ) - 3 sin (θ) = 0

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 0.72273 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.72273 \dots + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 41.40962 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 318.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (2 θ) - 3 sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 sin (2 θ) - 3 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 \cdot 2 sin (θ) cos (θ) - 3 sin (θ)

Vereinfache

= 4 sin (θ) cos (θ) - 3 sin (θ)

- 3 sin (θ) + 4 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

- 3 sin (θ) + 4 cos (θ) sin (θ) : sin (θ) (4 cos (θ) - 3)

- 3 sin (θ) + 4 cos (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (- 3 + 4 cos (θ))

sin (θ) (4 cos (θ) - 3) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or 4 cos (θ) - 3 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

4 cos (θ) - 3 = 0 : θ = arccos (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3}{4}) + 2 πn

4 cos (θ) - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

4 cos (θ) - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

4 cos (θ) - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

4 cos (θ) = 3

4 cos (θ) = 3

Teile beide Seiten durch

4

4 cos (θ) = 3

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 cos ( θ )}{4} = \frac{3}{4}

Vereinfache

cos (θ) = \frac{3}{4}

cos (θ) = \frac{3}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{3}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{3}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3}{4}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{3}{4}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{3}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 0.72273 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.72273 \dots + 2 πn

cos^{2} (x) + cos^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} = 0

4 cos^{2} (x) - 1 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

cos (2 x) + 3 sin (x) = 1

tan (2 θ) - 2 cos (θ) = 0

tan (θ) = \frac{12}{5}, π < θ < \frac{3 π}{2}