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Populaire Trigonométrie >

csc(x)+cot(x)=(sqrt(3))/3

Solution

csc (x) + cot (x) = \frac{3}{3}

Solution

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

csc (x) + cot (x) = \frac{3}{3}

Soustraire

\frac{3}{3}

des deux côtés

csc (x) + cot (x) - \frac{1}{3} = 0

Simplifier

csc (x) + cot (x) - \frac{1}{3} : \frac{3 csc ( x ) + 3 cot ( x ) - 1}{3}

csc (x) + cot (x) - \frac{1}{3}

Convertir un élément en fraction:

csc (x) = \frac{csc ( x ) 3}{3}, cot (x) = \frac{cot ( x ) 3}{3}

= \frac{csc ( x ) 3}{3} + \frac{cot ( x ) 3}{3} - \frac{1}{3}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{csc ( x ) 3 + cot ( x ) 3 - 1}{3}

\frac{3 csc ( x ) + 3 cot ( x ) - 1}{3} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 csc (x) + 3 cot (x) - 1 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

3 \frac{1}{sin ( x )} + 3 \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 1 = 0

Simplifier

3 \frac{1}{sin ( x )} + 3 \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 1 : \frac{3 + 3 cos ( x ) - sin ( x )}{sin ( x )}

3 \frac{1}{sin ( x )} + 3 \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 1

3 \frac{1}{sin ( x )} = \frac{3}{sin ( x )}

3 \frac{1}{sin ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( x )}

Multiplier:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( x )}

3 \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{3 cos ( x )}{sin ( x )}

3 \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) 3}{sin ( x )}

= \frac{3}{sin ( x )} + \frac{3 cos ( x )}{sin ( x )} - 1

Combiner les fractions

\frac{3}{sin ( x )} + \frac{3 cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{3 + 3 cos ( x )}{sin ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + 3 cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{3 cos ( x ) + 3}{sin ( x )} - 1

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{3 + cos ( x ) 3}{sin ( x )} - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 + cos ( x ) 3 - 1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )}

Multiplier:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{3 + 3 cos ( x ) - sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{3 + 3 cos ( x ) - sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 + 3 cos (x) - sin (x) = 0

Ajouter

sin (x)

aux deux côtés

3 + 3 cos (x) = sin (x)

Mettre les deux côtés au carré

(3 + 3 cos (x))^{2} = sin^{2} (x)

Soustraire

sin^{2} (x)

des deux côtés

(3 + 3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

(3 + cos (x) 3)^{2} - sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (3 + cos (x) 3)^{2} - (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

(3 + cos (x) 3)^{2} - (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) + 2

(3 + cos (x) 3)^{2} - (1 - cos^{2} (x))

= (3 + 3 cos (x))^{2} - (1 - cos^{2} (x))

(3 + cos (x) 3)^{2} : 3 + 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 3, b = cos (x) 3

= (3)^{2} + 23 cos (x) 3 + (cos (x) 3)^{2}

Simplifier

(3)^{2} + 23 cos (x) 3 + (cos (x) 3)^{2} : 3 + 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x)

(3)^{2} + 23 cos (x) 3 + (cos (x) 3)^{2}

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

23 cos (x) 3 = 6 cos (x)

23 cos (x) 3

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

33 = 3

= 2 \cdot 3 cos (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 3 = 6

= 6 cos (x)

(cos (x) 3)^{2} = 3 cos^{2} (x)

(cos (x) 3)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= (3)^{2} cos^{2} (x)

(3)^{2} : 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

= cos^{2} (x) \cdot 3

= 3 + 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x)

= 3 + 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x)

= 3 + 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 3 + 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Simplifier

3 + 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x) : 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) + 2

3 + 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x) - 1 + cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= 6 cos (x) + 3 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) + 3 - 1

Additionner les éléments similaires :

3 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x)

= 6 cos (x) + 4 cos^{2} (x) + 3 - 1

Additionner/Soustraire les nombres :

3 - 1 = 2

= 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) + 2

= 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) + 2

= 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) + 2

2 + 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

2 + 4 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

2 + 4 u^{2} + 6 u = 0

2 + 4 u^{2} + 6 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = - 1

2 + 4 u^{2} + 6 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 6 u + 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

4 u^{2} + 6 u + 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 4, b = 6, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 4}

6^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 2

6^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 6^{2} - 32

6^{2} = 36

= 36 - 32

Soustraire les nombres :

36 - 32 = 4

= 4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2}{2 \cdot 4}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 6 + 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 6 - 2}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 6 + 2}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- 6 + 2}{2 \cdot 4}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 6 + 2 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 6 - 2}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 6 - 2}{2 \cdot 4}

Soustraire les nombres :

- 6 - 2 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{1}{2}, u = - 1

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Solutions générales pour

cos (x) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

csc (x) + cot (x) = \frac{3}{3}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

vrai

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = \frac{3}{3}

insérer

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

csc (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) + cot (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = \frac{3}{3}

Redéfinir

0.57735 \dots = 0.57735 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Faux

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = \frac{3}{3}

insérer

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

csc (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) + cot (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = \frac{3}{3}

Redéfinir

- 0.57735 \dots = 0.57735 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

π + 2 πn :

Faux

π + 2 πn

Insérer

n = 1

π + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = \frac{3}{3}

insérer

x = π + 2 π 1

csc (π + 2 π 1) + cot (π + 2 π 1) = \frac{3}{3}

Ind \overset{e}{ˊ} fini

\Rightarrow Faux

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin(θ)+1=cos(θ)

sin (θ) + 1 = cos (θ)

sqrt(2)sin^2(θ)-sin(θ)=0

2 sin^{2} (θ) - sin (θ) = 0

2sin^2(x)=2-sqrt(3)cos(x)

2 sin^{2} (x) = 2 - 3 cos (x)

tan^2(x)= 3/2 sec(x)

tan^{2} (x) = \frac{3}{2} sec (x)

cot(θ)=cot^2(θ)

cot (θ) = cot^{2} (θ)