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Beliebt Trigonometrie >

sinh(x)=1

Lösung

sinh (x) = 1

Lösung

x = ln (1 + 2)

Grad

x = 50.49898 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

sinh (x) = 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sinh (x) = 1

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 1

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 1

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 1 : x = ln (1 + 2)

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 1

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 1 \cdot 2

Vereinfache

e^{x} - e^{- x} = 2

Wende Exponentenregel an

e^{x} - e^{- x} = 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = 2

e^{x} - (e^{x})^{- 1} = 2

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

u - (u)^{- 1} = 2

Löse

u - u^{- 1} = 2 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

u - u^{- 1} = 2

Fasse zusammen

u - \frac{1}{u} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

u

u - \frac{1}{u} = 2

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu - \frac{1}{u} u = 2 u

Vereinfache

uu - \frac{1}{u} u = 2 u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

u^{2} - 1 = 2 u

u^{2} - 1 = 2 u

u^{2} - 1 = 2 u

Löse

u^{2} - 1 = 2 u : u = 1 + 2, u = 1 - 2

u^{2} - 1 = 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

u^{2} - 1 = 2 u

Subtrahiere

2 u

von beiden Seiten

u^{2} - 1 - 2 u = 2 u - 2 u

Vereinfache

u^{2} - 1 - 2 u = 0

u^{2} - 1 - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Faktorisiere

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Schreibe um

= 2 \cdot 1 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u - u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 1 + 2 : x = ln (1 + 2)

e^{x} = 1 + 2

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 1 + 2

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1 + 2)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1 + 2)

x = ln (1 + 2)

Löse

e^{x} = 1 - 2 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = 1 - 2

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

x = ln (1 + 2)

x = ln (1 + 2)

Graph

Beliebte Beispiele

(sin(2x)+cos(2x))^2=1

(sin (2 x) + cos (2 x))^{2} = 1

2sin^2(x)-sin(x)=1

2 sin^{2} (x) - sin (x) = 1

cos^2(x)-sin^2(x)= 1/2

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = \frac{1}{2}

2cos^2(θ)-cos(θ)=0

2 cos^{2} (θ) - cos (θ) = 0

3tan^2(θ)-1=0

3 tan^{2} (θ) - 1 = 0