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Popolare Trigonometria >

sinh(3x)-3sinh(x)=0

Soluzione

sinh (3 x) - 3 sinh (x) = 0

Soluzione

x = 0

Gradi

x = 0^{\circ}

Fasi della soluzione

sinh (3 x) - 3 sinh (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sinh (3 x) - 3 sinh (x) = 0

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 : x = 0

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} \cdot 2 - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 0 \cdot 2

Semplificare

e^{3 x} - e^{- 3 x} - 3 (e^{x} - e^{- x}) = 0

Applica le regole dell'esponente

e^{3 x} - e^{- 3 x} - 3 (e^{x} - e^{- x}) = 0

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{3 x} = (e^{x})^{3}, e^{- 3 x} = (e^{x})^{- 3}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{3} - (e^{x})^{- 3} - 3 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) = 0

(e^{x})^{3} - (e^{x})^{- 3} - 3 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) = 0

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

(u)^{3} - (u)^{- 3} - 3 (u - (u)^{- 1}) = 0

Risolvi

u^{3} - u^{- 3} - 3 (u - u^{- 1}) = 0 : u = 1, u = - 1

u^{3} - u^{- 3} - 3 (u - u^{- 1}) = 0

Affinare

u^{3} - \frac{1}{u ^{3}} - 3 (u - \frac{1}{u}) = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u^{3}

u^{3} - \frac{1}{u ^{3}} - 3 (u - \frac{1}{u}) = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u^{3}

u^{3} u^{3} - \frac{1}{u ^{3}} u^{3} - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0 \cdot u^{3}

Semplificare

u^{3} u^{3} - \frac{1}{u ^{3}} u^{3} - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0 \cdot u^{3}

Semplificare

u^{3} u^{3} : u^{6}

u^{3} u^{3}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{3} u^{3} = u^{3 + 3}

= u^{3 + 3}

Aggiungi i numeri:

3 + 3 = 6

= u^{6}

Semplificare

- \frac{1}{u ^{3}} u^{3} : - 1

- \frac{1}{u ^{3}} u^{3}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{3}}{u ^{3}}

Cancella il fattore comune:

u^{3}

= - 1

Semplificare

0 \cdot u^{3} : 0

0 \cdot u^{3}

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0

Espandere

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} : u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2}

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3}

= u^{6} - 1 - 3 u^{3} (u - \frac{1}{u})

Espandi

- 3 u^{3} (u - \frac{1}{u}) : - 3 u^{4} + 3 u^{2}

- 3 u^{3} (u - \frac{1}{u})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3 u^{3}, b = u, c = \frac{1}{u}

= - 3 u^{3} u - (- 3 u^{3}) \frac{1}{u}

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 3 u^{3} u + 3 \cdot \frac{1}{u} u^{3}

Semplifica

- 3 u^{3} u + 3 \cdot \frac{1}{u} u^{3} : - 3 u^{4} + 3 u^{2}

- 3 u^{3} u + 3 \cdot \frac{1}{u} u^{3}

3 u^{3} u = 3 u^{4}

3 u^{3} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{3} u = u^{3 + 1}

= 3 u^{3 + 1}

Aggiungi i numeri:

3 + 1 = 4

= 3 u^{4}

3 \cdot \frac{1}{u} u^{3} = 3 u^{2}

3 \cdot \frac{1}{u} u^{3}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 u ^{3}}{u}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3 u ^{3}}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 3 u^{2}

= - 3 u^{4} + 3 u^{2}

= - 3 u^{4} + 3 u^{2}

= u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2}

u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2} = 0

Risolvi

u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{6} - 3 u^{4} + 3 u^{2} - 1 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{3} = u^{6}

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1 = 0

Risolvi

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1 = 0 : v = 1

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1 = 0

Fattorizza

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1 : (v - 1)^{3}

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1

Applica regola della differenza del cubo:

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}

a = v, b = 1

= (v - 1)^{3}

(v - 1)^{3} = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

v - 1 = 0

Risolvi

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

v - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

v = 1

v = 1

La soluzione è

v = 1

v = 1

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Le soluzioni sono

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

u^{3} - u^{- 3} - 3 (u - u^{- 1})

e confrontare con zero

Risolvi

u^{3} = 0 : u = 0

u^{3} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Semplificare

ln (1) : 0

ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Risolvi

e^{x} = - 1 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = 0

x = 0

Grafico

Esempi popolari

cos(4x)=sin(2x)

cos (4 x) = sin (2 x)

csc(θ)=sqrt(2)

csc (θ) = 2

-sin(x)-cos(x)=0

- sin (x) - cos (x) = 0

sec(x)sin(x)-2sin(x)=0

sec (x) sin (x) - 2 sin (x) = 0

4cos^2(x)=3

4 cos^{2} (x) = 3