integral of x^3(x+1)^5

解

\int x^{3} (x + 1)^{5} d x

\frac{x ^{9}}{9} + \frac{5 x ^{8}}{8} + \frac{10 x ^{7}}{7} + \frac{5 x ^{6}}{3} + x^{5} + \frac{x ^{4}}{4} + C

解答ステップ

\int x^{3} (x + 1)^{5} d x

拡張

x^{3} (x + 1)^{5} : x^{8} + 5 x^{7} + 10 x^{6} + 10 x^{5} + 5 x^{4} + x^{3}

= \int x^{8} + 5 x^{7} + 10 x^{6} + 10 x^{5} + 5 x^{4} + x^{3} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{8} d x + \int 5 x^{7} d x + \int 10 x^{6} d x + \int 10 x^{5} d x + \int 5 x^{4} d x + \int x^{3} d x

\int x^{8} d x = \frac{x ^{9}}{9}

\int 5 x^{7} d x = \frac{5 x ^{8}}{8}

\int 10 x^{6} d x = \frac{10 x ^{7}}{7}

\int 10 x^{5} d x = \frac{5 x ^{6}}{3}

\int 5 x^{4} d x = x^{5}

\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4}

= \frac{x ^{9}}{9} + \frac{5 x ^{8}}{8} + \frac{10 x ^{7}}{7} + \frac{5 x ^{6}}{3} + x^{5} + \frac{x ^{4}}{4}

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{9}}{9} + \frac{5 x ^{8}}{8} + \frac{10 x ^{7}}{7} + \frac{5 x ^{6}}{3} + x^{5} + \frac{x ^{4}}{4} + C