integral of cos^3(2x)sin^5(2x)

Lösung

\int cos^{3} (2 x) sin^{5} (2 x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{cos ^{4} ( 2 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 2 x )}{8}) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{3} (2 x) sin^{5} (2 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int cos^{3} (u) sin^{5} (u) \frac{1}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int cos^{3} (u) sin^{5} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{2} sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2})^{2} d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2})^{2} : - v^{3} + 2 v^{5} - v^{7}

= \frac{1}{2} \cdot \int - v^{3} + 2 v^{5} - v^{7} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int v^{3} d v + \int 2 v^{5} d v - \int v^{7} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int 2 v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{3}

\int v^{7} d v = \frac{v ^{8}}{8}

= \frac{1}{2} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{3} - \frac{v ^{8}}{8})

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{4} ( 2 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 2 x )}{8})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{4} ( 2 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 2 x )}{8}) + C

\int \frac{5 x}{x ^{2} + 4} d x

\frac{\partial}{\partial x} (5 x sin (x y))

\frac{\partial}{\partial x} (ln (8 y e^{x y}))

\int \frac{1}{( 25 - x ^{2} ) ^{2}} d x

t an g e n t 3 x^{2} - x^{3}