integral from pi to 2pi of (t-pi)e^{-st}

解答

\int_{π}^{2 π} (t - π) e^{- s t} d t

\frac{- 2 π s e ^{- 2 π s} - e ^{- 2 π s} + π s e ^{- π s} + e ^{- π s}}{s ^{2}} + \frac{π ( e ^{- 2 π s} - e ^{- π s} )}{s}

求解步骤

\int_{π}^{2 π} (t - π) e^{- s t} d t

乘开

(t - π) e^{- s t} : e^{- s t} t - π e^{- s t}

= \int_{π}^{2 π} e^{- s t} t - π e^{- s t} d t

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int_{π}^{2 π} e^{- s t} t d t - \int_{π}^{2 π} π e^{- s t} d t

\int_{π}^{2 π} e^{- s t} t d t = \frac{- 2 π s e ^{- 2 π s} - e ^{- 2 π s} + π s e ^{- π s} + e ^{- π s}}{s ^{2}}

\int_{π}^{2 π} π e^{- s t} d t = - \frac{π ( e ^{- 2 π s} - e ^{- π s} )}{s}

= \frac{- 2 π s e ^{- 2 π s} - e ^{- 2 π s} + π s e ^{- π s} + e ^{- π s}}{s ^{2}} - (- \frac{π ( e ^{- 2 π s} - e ^{- π s} )}{s})

化简

= \frac{- 2 π s e ^{- 2 π s} - e ^{- 2 π s} + π s e ^{- π s} + e ^{- π s}}{s ^{2}} + \frac{π ( e ^{- 2 π s} - e ^{- π s} )}{s}

d er i v a t i v e 13 - x^{2}

\frac{\partial}{\partial y} (3 arctan (\frac{x}{y}))

\frac{\partial}{\partial y} (- sin (x y) y)

\int (1 - 2 x)^{\frac{3}{2}} d x

x \to 0 lim (x^{2} - x^{4})