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integral of 1/(4x^2+10x+5)

Lösung

\int \frac{1}{4 x ^{2} + 10 x + 5} d x

- \frac{1}{2 5} (ln \frac{4}{5} x + 5 + 1 - ln \frac{4}{5} x + 5 - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{4 x ^{2} + 10 x + 5} d x

Vervollständige das Quadrat

4 x^{2} + 10 x + 5 : 4 (x + \frac{5}{4})^{2} - \frac{5}{4}

= \int \frac{1}{4 ( x + \frac{5}{4} ) ^{2} - \frac{5}{4}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4}{16 u ^{2} - 5} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{16 u ^{2} - 5} d u

Wende integrale Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 5 ( v ^{2} - 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{4 5} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 4 \cdot \frac{1}{4 5} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{4 5} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 4 \cdot \frac{1}{4 5} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{4 5} - \frac{ln \frac{4}{5} ( x + \frac{5}{4} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{4}{5} ( x + \frac{5}{4} ) - 1}{2}

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{4 5} - \frac{ln \frac{4}{5} ( x + \frac{5}{4} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{4}{5} ( x + \frac{5}{4} ) - 1}{2} : - \frac{1}{2 5} (ln \frac{4}{5} x + 5 + 1 - ln \frac{4}{5} x + 5 - 1)

= - \frac{1}{2 5} (ln \frac{4}{5} x + 5 + 1 - ln \frac{4}{5} x + 5 - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2 5} (ln \frac{4}{5} x + 5 + 1 - ln \frac{4}{5} x + 5 - 1) + C

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}

\int \frac{1}{8 - 2 x - x ^{2}} d x

\frac{d}{d x} (e^{x^{2} + 2 x + 1})

x \to 4 lim (x + 5)

t an g e n t f (x) = - 2 x^{2}