integral of (3x^2)/(sqrt(1-x^2))

Lösung

\int \frac{3 x ^{2}}{1 - x ^{2}} d x

\frac{3}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 x ^{2}}{1 - x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 3 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 3 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (x)

ein

= 3 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) : \frac{3}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

= \frac{3}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} (arcsin (x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

\int \frac{1}{p - z} + \frac{1}{z} d z

\int 4 (x - 1) d x

d er i v a t i v e \frac{x ^{6}}{2 - x ^{5}}

d er i v a t i v e f (x) = \frac{5}{4} x^{\frac{4}{3}}

x \to 6 - lim (\frac{- 6}{x + 6})