integral of (x^5+x^4-8)/(x^3-4x)

解

\int \frac{x ^{5} + x ^{4} - 8}{x ^{3} - 4 x} d x

\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 4 x + 2 ln ∣ x ∣ - 3 ln ∣ x + 2 ∣ + 5 ln ∣ x - 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{5} + x ^{4} - 8}{x ^{3} - 4 x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{5} + x ^{4} - 8}{x ^{3} - 4 x} : x^{2} + x + 4 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}

= \int x^{2} + x + 4 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 2} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{2} d x + \int x d x + \int 4 d x + \int \frac{2}{x} d x - \int \frac{3}{x + 2} d x + \int \frac{5}{x - 2} d x

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

\int 4 d x = 4 x

\int \frac{2}{x} d x = 2 ln ∣ x ∣

\int \frac{3}{x + 2} d x = 3 ln ∣ x + 2 ∣

\int \frac{5}{x - 2} d x = 5 ln ∣ x - 2 ∣

= \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 4 x + 2 ln ∣ x ∣ - 3 ln ∣ x + 2 ∣ + 5 ln ∣ x - 2 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 4 x + 2 ln ∣ x ∣ - 3 ln ∣ x + 2 ∣ + 5 ln ∣ x - 2 ∣ + C