integral of (x^4+1)/(x^3-x^2)

解

\int \frac{x ^{4} + 1}{x ^{3} - x ^{2}} d x

\frac{x ^{2}}{2} + x - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{x} + 2 ln ∣ x - 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{4} + 1}{x ^{3} - x ^{2}} d x

長除法

\frac{x ^{4} + 1}{x ^{3} - x ^{2}} : x + 1 + \frac{x ^{2} + 1}{x ^{3} - x ^{2}}

= \int x + 1 + \frac{x ^{2} + 1}{x ^{3} - x ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x d x + \int 1 d x + \int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{3} - x ^{2}} d x

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

\int 1 d x = x

\int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{3} - x ^{2}} d x = - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{x} + 2 ln ∣ x - 1 ∣

= \frac{x ^{2}}{2} + x - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{x} + 2 ln ∣ x - 1 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{2}}{2} + x - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{x} + 2 ln ∣ x - 1 ∣ + C