integral of sin^5(x/2)

Lösung

\int sin^{5} (\frac{x}{2}) d x

2 (- cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 cos ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3} - \frac{cos ^{5} ( \frac{x}{2} )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{5} (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{5} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin^{5} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{2} sin (u) d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int - 1 + 2 v^{2} - v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int 1 d v + \int 2 v^{2} d v - \int v^{4} d v)

\int 1 d v = v

\int 2 v^{2} d v = \frac{2 v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= 2 (- v + \frac{2 v ^{3}}{3} - \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= 2 (- cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 cos ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3} - \frac{cos ^{5} ( \frac{x}{2} )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 cos ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3} - \frac{cos ^{5} ( \frac{x}{2} )}{5}) + C

x \to 0 lim (5 - 2 x^{2})

x \to 3 lim (2 x^{- 1})

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} y cos^{2} (y)

\int csc (x) tan (x) d x

\frac{d}{d x} (cos (x) ln (x^{2} + 1))