integral of (x^3+1)^2x

解

\int (x^{3} + 1)^{2} x d x

\frac{x ^{8}}{8} + \frac{2 x ^{5}}{5} + \frac{x ^{2}}{2} + C

解答ステップ

\int (x^{3} + 1)^{2} x d x

拡張

(x^{3} + 1)^{2} x : x^{7} + 2 x^{4} + x

= \int x^{7} + 2 x^{4} + x d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{7} d x + \int 2 x^{4} d x + \int x d x

\int x^{7} d x = \frac{x ^{8}}{8}

\int 2 x^{4} d x = \frac{2 x ^{5}}{5}

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

= \frac{x ^{8}}{8} + \frac{2 x ^{5}}{5} + \frac{x ^{2}}{2}

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{8}}{8} + \frac{2 x ^{5}}{5} + \frac{x ^{2}}{2} + C