inverselaplace s/((s+1)^2+4)

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{s}{( s + 1 ) ^{2} + 4}

e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)

求解步骤

L^{- 1} {\frac{s}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

展开

\frac{s}{( s + 1 ) ^{2} + 4} : \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4} - 1 \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} - 1 \cdot L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} : e^{- t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 4}} : e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= e^{- t} cos (2 t) - 1 \cdot e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

整理

e^{- t} cos (2 t) - 1 e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t) : e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)

= e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{2} e^{- t} sin (2 t)

\int 5 cos^{3} (2 x) d x

m y d x = n x d y

\int_{0}^{1} \frac{1}{4 + x ^{2}} d x

x \to 0 lim ((\frac{1}{x} + 1)^{x})

x \to - 5 lim (\frac{2 x ^{2} + 7 x - 15}{x ^{2} - 25})