integral of t^3e^{-st}

Lösung

\int t^{3} e^{- s t} d t

\frac{1}{s ^{4}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t}))) + C

Schritte zur Lösung

\int t^{3} e^{- s t} d t

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{u} u ^{3}}{s ^{4}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{s ^{4}} \cdot \int e^{u} u^{3} d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{s ^{4}} (u^{3} e^{u} - \int 3 u^{2} e^{u} d u)

\int 3 u^{2} e^{u} d u = 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))

= \frac{1}{s ^{4}} (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))

Setze in

u = - s t

ein

= \frac{1}{s ^{4}} ((- s t)^{3} e^{- s t} - 3 ((- s t)^{2} e^{- s t} - 2 (e^{- s t} (- s t) - e^{- s t})))

Vereinfache

\frac{1}{s ^{4}} ((- s t)^{3} e^{- s t} - 3 ((- s t)^{2} e^{- s t} - 2 (e^{- s t} (- s t) - e^{- s t}))) : \frac{1}{s ^{4}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t})))

= \frac{1}{s ^{4}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{s ^{4}} (- s^{3} e^{- s t} t^{3} - 3 (s^{2} e^{- s t} t^{2} - 2 (- s e^{- s t} t - e^{- s t}))) + C

x \to - 6 lim (∣ x + 6 ∣)

e x p an d 3 7 x^{2} + 7 x + 5 \cdot (5 x - 3)

\int \frac{1}{3 cos ( 5 x - \frac{π}{4} )} d x

\int arctan (y) d y

cos^{2} (x) sin (x) (\frac{d y}{d x}) + (cos^{3} (x)) y = 1