integral from 0 to pi/2 of sin^3(x)

解

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{3} (x) d x

\frac{2}{3}

十進法表記

0.66666 \dots

解答ステップ

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{3} (x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - cos^{2} (x)) sin (x) d x

u置換積分法を適用する

= \int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x, a < b

= - \int_{0}^{1} - 1 + u^{2} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int_{0}^{1} 1 d u + \int_{0}^{1} u^{2} d u)

\int_{0}^{1} 1 d u = 1

\int_{0}^{1} u^{2} d u = \frac{1}{3}

= - (- 1 + \frac{1}{3})

簡素化

- (- 1 + \frac{1}{3}) : \frac{2}{3}

= \frac{2}{3}