integral of (1+1/u)^{-3}(1/(u^2))

解

\int (1 + \frac{1}{u})^{- 3} (\frac{1}{u ^{2}}) d u

- \frac{u ^{2}}{( u + 1 ) ^{3}} - \frac{3}{2 ( u + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( u + 1 ) ^{3}} + C

解答ステップ

\int (1 + \frac{1}{u})^{- 3} \frac{1}{u ^{2}} d u

部分積分を適用する

= - \frac{u ^{2}}{( u + 1 ) ^{3}} - \int - \frac{3 u}{( u + 1 ) ^{4}} d u

\int - \frac{3 u}{( u + 1 ) ^{4}} d u = \frac{3}{2 ( u + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( u + 1 ) ^{3}}

= - \frac{u ^{2}}{( u + 1 ) ^{3}} - (\frac{3}{2 ( u + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{( u + 1 ) ^{3}})

簡素化

= - \frac{u ^{2}}{( u + 1 ) ^{3}} - \frac{3}{2 ( u + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( u + 1 ) ^{3}}

定数を解答に追加する

= - \frac{u ^{2}}{( u + 1 ) ^{3}} - \frac{3}{2 ( u + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( u + 1 ) ^{3}} + C