интеграл от (cot(ln(x^4+1))x^3)/(x^4+1)

Решение

\int \frac{cot ( ln ( x ^{4} + 1 ) ) x ^{3}}{x ^{4} + 1} d x

\frac{1}{4} ln sin (ln (x^{4} + 1)) + C

Шаги решения

\int \frac{cot ( ln ( x ^{4} + 1 ) ) x ^{3}}{x ^{4} + 1} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{cot ( ln ( u ) )}{4 u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{cot ( ln ( u ) )}{u} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{4} \cdot \int cot (v) d v

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{cos ( v )}{sin ( v )} d v

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{w} d w

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{w} d w = ln (∣ w ∣)

= \frac{1}{4} ln ∣ w ∣

Делаем обратную замену

= \frac{1}{4} ln sin (ln (x^{4} + 1))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{4} ln sin (ln (x^{4} + 1)) + C