integral from-1 to 1 of (4x-e^{-x})^2

Lösung

\int_{- 1}^{1} (4 x - e^{- x})^{2} d x

\frac{96 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 2} + 64 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 3} + 3 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 5} - 3 e ^{1 + 2 W_{0} (- \frac{1}{4})}}{6 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 3}}

Dezimale

20.17959 \dots

Schritte zur Lösung

\int_{- 1}^{1} (4 x - e^{- x})^{2} d x

Multipliziere mit der Konjugation von

4 x - e^{- x} : \frac{16 x ^{2} - e ^{- 2 x}}{4 x + e ^{- x}}

= \int_{- 1}^{1} (\frac{16 x ^{2} - e ^{- 2 x}}{4 x + e ^{- x}})^{2} d x

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

x = W_{0} (- \frac{1}{4})

Wenn

b, a < b < c, f (b) =

unbestimmt

, \int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x

= \int_{- 1}^{W_{0} (- \frac{1}{4})} (\frac{16 x ^{2} - e ^{- 2 x}}{4 x + e ^{- x}})^{2} d x + \int_{W_{0} (- \frac{1}{4})}^{1} (\frac{16 x ^{2} - e ^{- 2 x}}{4 x + e ^{- x}})^{2} d x

\int_{- 1}^{W_{0} (- \frac{1}{4})} (\frac{16 x ^{2} - e ^{- 2 x}}{4 x + e ^{- x}})^{2} d x = \frac{16 ( W _{0} ( - \frac{1}{4} ) ^{3} + 1 )}{3} - 8 (- e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})} W_{0} (- \frac{1}{4}) - e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})}) + \frac{1}{2} (e^{2} - e^{- 2 W_{0} (- \frac{1}{4})})

\int_{W_{0} (- \frac{1}{4})}^{1} (\frac{16 x ^{2} - e ^{- 2 x}}{4 x + e ^{- x}})^{2} d x = \frac{16 ( 1 - W _{0} ( - \frac{1}{4} ) ^{3} )}{3} - 8 (- \frac{2}{e} + e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})} W_{0} (- \frac{1}{4}) + e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})}) + \frac{1}{2} (e^{- 2 W_{0} (- \frac{1}{4})} - \frac{1}{e ^{2}})

= \frac{16 ( W _{0} ( - \frac{1}{4} ) ^{3} + 1 )}{3} - 8 (- e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})} W_{0} (- \frac{1}{4}) - e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})}) + \frac{1}{2} (e^{2} - e^{- 2 W_{0} (- \frac{1}{4})}) + \frac{16 ( 1 - W _{0} ( - \frac{1}{4} ) ^{3} )}{3} - 8 (- \frac{2}{e} + e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})} W_{0} (- \frac{1}{4}) + e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})}) + \frac{1}{2} (e^{- 2 W_{0} (- \frac{1}{4})} - \frac{1}{e ^{2}})

Vereinfache

\frac{16 ( W _{0} ( - \frac{1}{4} ) ^{3} + 1 )}{3} - 8 (- e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})} W_{0} (- \frac{1}{4}) - e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})}) + \frac{1}{2} (e^{2} - e^{- 2 W_{0} (- \frac{1}{4})}) + \frac{16 ( 1 - W _{0} ( - \frac{1}{4} ) ^{3} )}{3} - 8 (- \frac{2}{e} + e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})} W_{0} (- \frac{1}{4}) + e^{- W_{0} (- \frac{1}{4})}) + \frac{1}{2} (e^{- 2 W_{0} (- \frac{1}{4})} - \frac{1}{e ^{2}}) : \frac{96 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 2} + 64 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 3} + 3 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 5} - 3 e ^{1 + 2 W_{0} (- \frac{1}{4})}}{6 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 3}}

= \frac{96 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 2} + 64 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 3} + 3 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 5} - 3 e ^{1 + 2 W_{0} (- \frac{1}{4})}}{6 e ^{2 W_{0} (- \frac{1}{4}) + 3}}

\int_{1}^{3} (4 x - x^{2} - 3) d x

\int_{1}^{2} (i + 2 t j) d x

\int_{0}^{1} e^{x} - (e^{- x}) d x

\int_{- \infty}^{- 1} e^{5 x} d x

\int_{3}^{x} f (t) d t