integral from 0 to x of 2/3 e^{-(2x)/3}

解

\int_{0}^{x} \frac{2}{3} e^{- \frac{2 x}{3}} d x

- e^{- \frac{2 x}{3}} + 1

解答ステップ

\int_{0}^{x} \frac{2}{3} e^{- \frac{2 x}{3}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{2}{3} \cdot \int_{0}^{x} e^{- \frac{2 x}{3}} d x

u置換積分法を適用する

= \frac{2}{3} \cdot \int_{0}^{- \frac{2 x}{3}} - \frac{3}{2} e^{u} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{2}{3} (- \frac{3}{2} \cdot \int_{0}^{- \frac{2 x}{3}} e^{u} d u)

共通積分を使用する:

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{2}{3} (- \frac{3}{2} [e^{u}]_{0}^{- \frac{2 x}{3}})

簡素化

\frac{2}{3} (- \frac{3}{2} [e^{u}]_{0}^{- \frac{2 x}{3}}) : - [e^{u}]_{0}^{- \frac{2 x}{3}}

= - [e^{u}]_{0}^{- \frac{2 x}{3}}

限度を計算する:

e^{- \frac{2 x}{3}} - 1

= - (e^{- \frac{2 x}{3}} - 1)

簡素化

= - e^{- \frac{2 x}{3}} + 1