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integral of (ln((2a)/x))^2

Lösung

\int (ln (\frac{2 a}{x}))^{2} d x

Lösung

x ln^{2} (\frac{2 a}{x}) + 2 x ln (\frac{2 a}{x}) + 2 x + C

Schritte zur Lösung

\int (ln (\frac{2 a}{x}))^{2} d x

Vereinfache

= \int ln^{2} (\frac{2 a}{x}) d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{2 a ln ^{2} ( u )}{u ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 2 a \cdot \int \frac{ln ^{2} ( u )}{u ^{2}} d u

Wende die partielle Integration an

= - 2 a (- \frac{ln ^{2} ( u )}{u} - \int - \frac{2 ln ( u )}{u ^{2}} d u)

\int - \frac{2 ln ( u )}{u ^{2}} d u = - 2 (- \frac{ln ( u )}{u} - \frac{1}{u})

= - 2 a (- \frac{ln ^{2} ( u )}{u} - (- 2 (- \frac{ln ( u )}{u} - \frac{1}{u})))

Setze in

u = \frac{2 a}{x}

ein

= - 2 a (- \frac{ln ^{2} ( \frac{2 a}{x} )}{\frac{2 a}{x}} - (- 2 (- \frac{ln ( \frac{2 a}{x} )}{\frac{2 a}{x}} - \frac{1}{\frac{2 a}{x}})))

Vereinfache

- 2 a (- \frac{ln ^{2} ( \frac{2 a}{x} )}{\frac{2 a}{x}} - (- 2 (- \frac{ln ( \frac{2 a}{x} )}{\frac{2 a}{x}} - \frac{1}{\frac{2 a}{x}}))) : x ln^{2} (\frac{2 a}{x}) + 2 x ln (\frac{2 a}{x}) + 2 x

= x ln^{2} (\frac{2 a}{x}) + 2 x ln (\frac{2 a}{x}) + 2 x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x ln^{2} (\frac{2 a}{x}) + 2 x ln (\frac{2 a}{x}) + 2 x + C

Graph

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