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integral of 1/(2-3sin(x))

Lösung

\int \frac{1}{2 - 3 sin ( x )} d x

- \frac{1}{5} (ln \frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) - 3}{5} + 1 - ln \frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) - 3}{5} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 - 3 sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} + 1 - 3 u} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + 1 - 3 u : (u - \frac{3}{2})^{2} - \frac{5}{4}

= \int \frac{1}{( u - \frac{3}{2} ) ^{2} - \frac{5}{4}} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4}{4 v ^{2} - 5} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} - 5} d v

Wende integrale Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 5 ( w ^{2} - 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 5} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w

Faktorisiere

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= 4 \cdot \frac{1}{2 5} \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 5} (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 4 \cdot \frac{1}{2 5} (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{2 5} - \frac{ln \frac{2}{5} ( tan ( \frac{x}{2} ) - \frac{3}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{5} ( tan ( \frac{x}{2} ) - \frac{3}{2} ) - 1}{2}

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2 5} - \frac{ln \frac{2}{5} ( tan ( \frac{x}{2} ) - \frac{3}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{5} ( tan ( \frac{x}{2} ) - \frac{3}{2} ) - 1}{2} : - \frac{1}{5} (ln \frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) - 3}{5} + 1 - ln \frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) - 3}{5} - 1)

= - \frac{1}{5} (ln \frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) - 3}{5} + 1 - ln \frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) - 3}{5} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{5} (ln \frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) - 3}{5} + 1 - ln \frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) - 3}{5} - 1) + C

\int ln (2 w) d w

\int (1 - e^{- 2 x}) d x

\int x (sec^{2} (3 x)) d x

\int sin (6 x) sin (3 x) d x

\int \frac{2 x ^{2} + 3 x + 21}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 9 )} d x