integral of sin^{-5}(y)cos^7(y)

Lösung

\int sin^{- 5} (y) cos^{7} (y) d y

- \frac{1}{4} csc^{4} (y) + \frac{3}{2} csc^{2} (y) + 3 ln ∣ sin (y) ∣ - \frac{1}{2} sin^{2} (y) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{- 5} (y) cos^{7} (y) d y

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (1 - sin^{2} (y))^{3} cos (y) sin^{- 5} (y) d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{( 1 - u ^{2} ) ^{3}}{u ^{5}} d u

Multipliziere aus

\frac{( 1 - u ^{2} ) ^{3}}{u ^{5}} : \frac{1}{u ^{5}} - \frac{3}{u ^{3}} + \frac{3}{u} - u

= \int \frac{1}{u ^{5}} - \frac{3}{u ^{3}} + \frac{3}{u} - u d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{u ^{5}} d u - \int \frac{3}{u ^{3}} d u + \int \frac{3}{u} d u - \int u d u

\int \frac{1}{u ^{5}} d u = - \frac{1}{4 u ^{4}}

\int \frac{3}{u ^{3}} d u = - \frac{3}{2 u ^{2}}

\int \frac{3}{u} d u = 3 ln ∣ u ∣

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

= - \frac{1}{4 u ^{4}} - (- \frac{3}{2 u ^{2}}) + 3 ln ∣ u ∣ - \frac{u ^{2}}{2}

Setze in

u = sin (y)

ein

= - \frac{1}{4 sin ^{4} ( y )} - (- \frac{3}{2 sin ^{2} ( y )}) + 3 ln ∣ sin (y) ∣ - \frac{sin ^{2} ( y )}{2}

Vereinfache

- \frac{1}{4 sin ^{4} ( y )} - (- \frac{3}{2 sin ^{2} ( y )}) + 3 ln ∣ sin (y) ∣ - \frac{sin ^{2} ( y )}{2} : - \frac{1}{4} csc^{4} (y) + \frac{3}{2} csc^{2} (y) + 3 ln ∣ sin (y) ∣ - \frac{1}{2} sin^{2} (y)

= - \frac{1}{4} csc^{4} (y) + \frac{3}{2} csc^{2} (y) + 3 ln ∣ sin (y) ∣ - \frac{1}{2} sin^{2} (y)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} csc^{4} (y) + \frac{3}{2} csc^{2} (y) + 3 ln ∣ sin (y) ∣ - \frac{1}{2} sin^{2} (y) + C

\int \frac{900}{( 2 x + 3 ) ^{3}} d x

\int \frac{x - 70}{x ^{2} ( x + 5 )} d x

\int 2 x^{2} + 1 x d x

\int (x^{2} + z^{2}) d y

\int 5 x^{2} cosh (x^{3}) d x