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人気のある微分積分 >

integral of (x^2)/((x^2+100)^{3/2)}

解

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 100 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

解

ln (\frac{1}{10} x + (100 + x^{2})^{\frac{1}{2}}) - \frac{x}{( 100 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 100 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int tan^{2} (u) cos (u) d u

簡素化

tan^{2} (u) cos (u) : sin (u) tan (u)

= \int sin (u) tan (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} d u

拡張

\frac{1 - cos ^{2} ( u )}{cos ( u )} : \frac{1}{cos ( u )} - cos (u)

= \int \frac{1}{cos ( u )} - cos (u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{cos ( u )} d u - \int cos (u) d u

\int \frac{1}{cos ( u )} d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int cos (u) d u = sin (u)

= ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ - sin (u)

代用を戻す

u = arctan (\frac{1}{10} x)

= ln tan (arctan (\frac{1}{10} x)) + sec (arctan (\frac{1}{10} x)) - sin (arctan (\frac{1}{10} x))

簡素化

ln tan (arctan (\frac{1}{10} x)) + sec (arctan (\frac{1}{10} x)) - sin (arctan (\frac{1}{10} x)) : ln (\frac{1}{10} x + (100 + x^{2})^{\frac{1}{2}}) - \frac{x}{( 100 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= ln (\frac{1}{10} x + (100 + x^{2})^{\frac{1}{2}}) - \frac{x}{( 100 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

定数を解答に追加する

= ln (\frac{1}{10} x + (100 + x^{2})^{\frac{1}{2}}) - \frac{x}{( 100 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

グラフ

人気の例

integral of tan^7(x)sec^6(x)

\int tan^{7} (x) sec^{6} (x) d x

integral of 4sin(2x)cos(2x)

\int 4 sin (2 x) cos (2 x) d x

integral of ((4x-1))/((2x+1)^{3/2)}

\int \frac{( 4 x - 1 )}{( 2 x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

integral of 10csc^2(-5x)cot^4(-5x)

\int 10 csc^{2} (- 5 x) cot^{4} (- 5 x) d x

integral of (cos(2x)+sin^2(x))/(2cos(x))

\int \frac{cos ( 2 x ) + sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x )} d x