integral from 0 to 1 of x/((xy+1)^2)

解

\int_{0}^{1} \frac{x}{( x y + 1 ) ^{2}} d y

- \frac{1}{1 + x} + 1

解答ステップ

\int_{0}^{1} \frac{x}{( x y + 1 ) ^{2}} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{( 1 + x y ) ^{2}} d y

u置換積分法を適用する

= x \cdot \int_{1}^{1 + x} \frac{1}{x u ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x \frac{1}{x} \cdot \int_{1}^{1 + x} \frac{1}{u ^{2}} d u

べき乗則を適用する

= x \frac{1}{x} [- \frac{1}{u}]_{1}^{1 + x}

簡素化

x \frac{1}{x} [- \frac{1}{u}]_{1}^{1 + x} : [- \frac{1}{u}]_{1}^{1 + x}

= [- \frac{1}{u}]_{1}^{1 + x}

限度を計算する:

- \frac{1}{1 + x} + 1

= - \frac{1}{1 + x} + 1