integral from 0 to x of x^5e^{-x}

解

\int_{0}^{x} x^{5} e^{- x} d x

- e^{- x} x^{5} - 5 (e^{- x} x^{4} - 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))) + 120

解答ステップ

\int_{0}^{x} x^{5} e^{- x} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{- x} e^{u} u^{5} d u

部分積分を適用する

= [u^{5} e^{u} - \int 5 u^{4} e^{u} d u]_{0}^{- x}

\int 5 u^{4} e^{u} d u = 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))))

= [u^{5} e^{u} - 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))))]_{0}^{- x}

限度を計算する:

- e^{- x} x^{5} - 5 (e^{- x} x^{4} - 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))) + 120

= - e^{- x} x^{5} - 5 (e^{- x} x^{4} - 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))) + 120