integral from 0 to t of te^{-kt}

Soluzione

\int_{0}^{t} t e^{- k t} d t

\frac{- k e ^{- k t} t - e ^{- k t} + 1}{k ^{2}}

Fasi della soluzione

\int_{0}^{t} t e^{- k t} d t

Applicare la sostituzione u

= \int_{0}^{- k t} \frac{e ^{u} u}{k ^{2}} d u

Porta fuori la costante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{k ^{2}} \cdot \int_{0}^{- k t} e^{u} u d u

Applica l'Integrazione per Parti

= \frac{1}{k ^{2}} [e^{u} u - \int e^{u} d u]_{0}^{- k t}

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{k ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- k t}

Semplificare

\frac{1}{k ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- k t} : \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- k t}}{k ^{2}}

= \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- k t}}{k ^{2}}

Calcola i limiti:

- k e^{- k t} t - e^{- k t} + 1

= \frac{- k e ^{- k t} t - e ^{- k t} + 1}{k ^{2}}

\int_{0}^{x} \frac{x y}{1 + x ^{4}} d y

\int_{0}^{2} \frac{x}{( x ^{2} - 2 x + 2 )} d x

\int_{1}^{3} (3 x - 2) d x

\int_{0}^{120} 3 - 3 e^{- 0.15 t} d t

\int_{2}^{4} \frac{x}{( x ^{2} + 6 ) ^{3}} d x