integral from 0 to pi/2 of xsin(x)cos(x)

Lösung

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin (x) cos (x) d x

\frac{π}{8}

Dezimale

0.39269 \dots

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin (x) cos (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{2} x sin (2 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin (2 x) d x

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (- x cos (2 x) - 2 \cdot \int - \frac{1}{2} cos (2 x) d x)]_{0}^{\frac{π}{2}}

\int - \frac{1}{2} cos (2 x) d x = - \frac{1}{4} sin (2 x)

= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (- x cos (2 x) - 2 (- \frac{1}{4} sin (2 x)))]_{0}^{\frac{π}{2}}

Vereinfache

\frac{1}{2} [\frac{1}{2} (- x cos (2 x) - 2 (- \frac{1}{4} sin (2 x)))]_{0}^{\frac{π}{2}} : \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (- x cos (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}}

= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} (- x cos (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}}

Berechne die Grenzen:

\frac{π}{4}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}

Vereinfache

= \frac{π}{8}

\int_{0}^{π} x^{3} cos (n x) d x

\int_{0}^{1} \frac{x}{( x + 1 ) ( x + 2 )} d x

\int_{- 1}^{2} 1 - x d x

\int_{3}^{4} x^{3} d x

\int_{2}^{3} \frac{1}{2 y - 3} d y