integral from 0 to pi of x^3sin(nx)

解

\int_{0}^{π} x^{3} sin (n x) d x

\frac{6 π ( - 1 ) ^{n} - π ^{3} ( - 1 ) ^{n} n ^{2}}{n ^{3}}

解答ステップ

\int_{0}^{π} x^{3} sin (n x) d x

部分積分を適用する

= [\frac{1}{n} (- x^{3} cos (n x) - n \cdot \int - \frac{3}{n} x^{2} cos (n x) d x)]_{0}^{π}

\int - \frac{3}{n} x^{2} cos (n x) d x = - \frac{3}{n ^{4}} (n^{2} x^{2} sin (n x) - 2 (- n x cos (n x) + sin (n x)))

= [\frac{1}{n} (- x^{3} cos (n x) - n (- \frac{3}{n ^{4}} (n^{2} x^{2} sin (n x) - 2 (- n x cos (n x) + sin (n x)))))]_{0}^{π}

簡素化

[\frac{1}{n} (- x^{3} cos (n x) - n (- \frac{3}{n ^{4}} (n^{2} x^{2} sin (n x) - 2 (- n x cos (n x) + sin (n x)))))]_{0}^{π} : [\frac{1}{n} (- x^{3} cos (n x) + \frac{3}{n ^{3}} (n^{2} x^{2} sin (n x) - 2 (- n x cos (n x) + sin (n x))))]_{0}^{π}

= [\frac{1}{n} (- x^{3} cos (n x) + \frac{3}{n ^{3}} (n^{2} x^{2} sin (n x) - 2 (- n x cos (n x) + sin (n x))))]_{0}^{π}

限度を計算する:

\frac{1}{n} (\frac{6 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} - π^{3} (- 1)^{n})

= \frac{1}{n} (\frac{6 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} - π^{3} (- 1)^{n})

簡素化

= \frac{6 π ( - 1 ) ^{n} - π ^{3} ( - 1 ) ^{n} n ^{2}}{n ^{3}}