integral from 0 to l of sin((npix)/l)

解

\int_{0}^{l} sin (\frac{nπ x}{l}) d x

\frac{l ( - ( - 1 ) ^{n} + 1 )}{πn}

解答ステップ

\int_{0}^{l} sin (\frac{nπ x}{l}) d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{nπ l} \frac{sin ( \frac{u}{l} )}{πn} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{πn} \cdot \int_{0}^{nπ l} sin (\frac{u}{l}) d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{πn} \cdot \int_{0}^{πn} sin (v) l d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{πn} l \cdot \int_{0}^{πn} sin (v) d v

共通積分を使用する:

\int sin (v) d v = - cos (v)

= \frac{1}{πn} l [- cos (v)]_{0}^{πn}

限度を計算する:

- (- 1)^{n} + 1

= \frac{1}{πn} l (- (- 1)^{n} + 1)

簡素化

= \frac{l ( - ( - 1 ) ^{n} + 1 )}{πn}