integral of tln(1+t)

Lösung

\int t ln (1 + t) d t

\frac{1}{2} ln (1 + t) (1 + t)^{2} - ln (1 + t) - t ln (1 + t) - \frac{1}{4} (1 + t)^{2} + 1 + t + C

Schritte zur Lösung

\int t ln (1 + t) d t

Wende U-Substitution an

= \int (u - 1) ln (u) d u

Wende die partielle Integration an

= ln (u) (\frac{u ^{2}}{2} - u) - \int \frac{1}{2} (u - 2) d u

\int \frac{1}{2} (u - 2) d u = \frac{u ^{2}}{4} - u

= ln (u) (\frac{u ^{2}}{2} - u) - (\frac{u ^{2}}{4} - u)

Setze in

u = 1 + t

ein

= ln (1 + t) (\frac{( 1 + t ) ^{2}}{2} - (1 + t)) - (\frac{( 1 + t ) ^{2}}{4} - (1 + t))

Vereinfache

ln (1 + t) (\frac{( 1 + t ) ^{2}}{2} - (1 + t)) - (\frac{( 1 + t ) ^{2}}{4} - (1 + t)) : \frac{1}{2} ln (1 + t) (1 + t)^{2} - ln (1 + t) - t ln (1 + t) - \frac{1}{4} (1 + t)^{2} + 1 + t

= \frac{1}{2} ln (1 + t) (1 + t)^{2} - ln (1 + t) - t ln (1 + t) - \frac{1}{4} (1 + t)^{2} + 1 + t

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln (1 + t) (1 + t)^{2} - ln (1 + t) - t ln (1 + t) - \frac{1}{4} (1 + t)^{2} + 1 + t + C

\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + y + 9) d y

x \to \infty lim (x + 9)

\int \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 3} d x

y^{''} (x) - 3 y^{'} (x) + 2 y = \frac{1}{1 + e ^{- x}}

x \to 0 lim (- arcsin (x))