integral from pi to 2pi of sin(x)cos(nx)

解

\int_{π}^{2 π} sin (x) cos (n x) d x

\frac{1}{2} (\frac{- cos ( 2 π + 2 πn ) - ( - 1 ) ^{n}}{1 + n} + \frac{- cos ( 2 π - 2 πn ) - ( - 1 ) ^{- n}}{1 - n})

解答ステップ

\int_{π}^{2 π} sin (x) cos (n x) d x

次の恒等を使用する:

cos (t) sin (s) = \frac{sin ( s + t ) + sin ( s - t )}{2}

= \int_{π}^{2 π} \frac{sin ( x + n x ) + sin ( x - n x )}{2} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{π}^{2 π} sin (x + n x) + sin (x - n x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int_{π}^{2 π} sin (x + n x) d x + \int_{π}^{2 π} sin (x - n x) d x)

\int_{π}^{2 π} sin (x + n x) d x = \frac{- cos ( 2 π + 2 πn ) - ( - 1 ) ^{n}}{1 + n}

\int_{π}^{2 π} sin (x - n x) d x = \frac{- cos ( 2 π - 2 πn ) - ( - 1 ) ^{- n}}{1 - n}

= \frac{1}{2} (\frac{- cos ( 2 π + 2 πn ) - ( - 1 ) ^{n}}{1 + n} + \frac{- cos ( 2 π - 2 πn ) - ( - 1 ) ^{- n}}{1 - n})