integral of (3^x-1)/(3^x+1)

Lösung

\int \frac{3 ^{x} - 1}{3 ^{x} + 1} d x

- x + \frac{2}{ln ( 3 )} ln ∣ 3^{x} + 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 ^{x} - 1}{3 ^{x} + 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u - 1}{ln ( 3 ) u ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{ln ( 3 )} \cdot \int \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{u - 1}{u ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1}

= \frac{1}{ln ( 3 )} \cdot \int - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{ln ( 3 )} (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

= \frac{1}{ln ( 3 )} (- ln ∣ u ∣ + 2 ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = 3^{x}

ein

= \frac{1}{ln ( 3 )} (- ln ∣ 3^{x} ∣ + 2 ln ∣ 3^{x} + 1 ∣)

Vereinfache

\frac{1}{ln ( 3 )} (- ln ∣ 3^{x} ∣ + 2 ln ∣ 3^{x} + 1 ∣) : - x + \frac{2}{ln ( 3 )} ln ∣ 3^{x} + 1 ∣

= - x + \frac{2}{ln ( 3 )} ln ∣ 3^{x} + 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - x + \frac{2}{ln ( 3 )} ln ∣ 3^{x} + 1 ∣ + C

\int \frac{2 x ^{2} + 3 x + 11}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 4 )} d x

\int \frac{( t - 2 )}{( t ^{2} - 4 t + 3 ) ^{3}} d t

\int \frac{x}{1 + 49 x ^{4}} d x

\int \frac{( 5 - 4 x )}{12 x - 4 x ^{2} - 8} d x

\int 6 x^{2} + 6 x d x