integral of (x^2)/(sqrt((a^2-x^2)))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{( a ^{2} - x ^{2} )} d x

\frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{x}{a}) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{a ^{2} - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int a^{2} sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= a^{2} \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{2} \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a^{2} \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= a^{2} \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{a} x)

ein

= a^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} x)))

Vereinfache

a^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} x))) : \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{x}{a}) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a})))

= \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{x}{a}) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} a^{2} (arcsin (\frac{x}{a}) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a}))) + C

\int (x^{\frac{1}{3}} - x + 4) d x

\int e^{- 0.3 t} d t

\int \frac{1}{y ( y - 2 )} d y

\int 2 cot^{2} (θ) - 3 tan^{2} (θ) d θ

\int 3 x + 2 d x