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integral of sqrt((x^2-8x))

Lösung

\int (x^{2} - 8 x) d x

16 (- ln (\frac{1}{4} x^{2} - 8 x + x - 4) + \frac{1}{32} (x - 4) x^{2} - 8 x + \frac{1}{2} ln (\frac{x ^{2} - 8 x + x - 4}{4})) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} - 8 x d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 8 x : (x - 4)^{2} - 16

= \int (x - 4)^{2} - 16 d x

Wende U-Substitution an

= \int u^{2} - 16 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 16 tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 16 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 16 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 16 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 16 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= 16 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) tan (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))))

Vereinfache

16 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) tan (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{4} (x - 4)))) : 16 (- ln (\frac{1}{4} x^{2} - 8 x + x - 4) + \frac{1}{32} (x - 4) x^{2} - 8 x + \frac{1}{2} ln (\frac{x ^{2} - 8 x + x - 4}{4}))

= 16 (- ln (\frac{1}{4} x^{2} - 8 x + x - 4) + \frac{1}{32} (x - 4) x^{2} - 8 x + \frac{1}{2} ln (\frac{x ^{2} - 8 x + x - 4}{4}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 16 (- ln (\frac{1}{4} x^{2} - 8 x + x - 4) + \frac{1}{32} (x - 4) x^{2} - 8 x + \frac{1}{2} ln (\frac{x ^{2} - 8 x + x - 4}{4})) + C

\int e^{\frac{1}{10} t} d t

\int (\frac{x + 16}{x ^{2} + 2 x - 8}) d x

\int 3 e^{0.6 x} d x

\int - \frac{e ^{- 2 x}}{2} d x

\int \frac{x}{x ^{3} - 1} d x