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人気のある微分積分 >

integral of sqrt((e^t-1)^2+(2e^{t/2))^2}

解

\int (e^{t} - 1)^{2} + (2 e^{\frac{t}{2}})^{2} d t

解

\frac{2}{3} e^{t} + 2 + \frac{1}{3} e^{t} + t + C

解答ステップ

\int (e^{t} - 1)^{2} + (2 e^{\frac{t}{2}})^{2} d t

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2 u ^{4} + 2 u ^{2} + 1}{u} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u ^{4} + 2 u ^{2} + 1}{u} d u

部分積分を適用する

= 2 (\frac{1}{3} (u^{2} + 3) - \int - \frac{u ^{2} + 3}{3 u} d u)

\int - \frac{u ^{2} + 3}{3 u} d u = - \frac{u ^{2}}{6} - ln ∣ u ∣

= 2 (\frac{1}{3} (u^{2} + 3) - (- \frac{u ^{2}}{6} - ln ∣ u ∣))

代用を戻す

u = e^{\frac{t}{2}}

= 2 \frac{1}{3} ((e^{\frac{t}{2}})^{2} + 3) - - \frac{( e ^{\frac{t}{2}} ) ^{2}}{6} - ln e^{\frac{t}{2}}

簡素化

2 \frac{1}{3} ((e^{\frac{t}{2}})^{2} + 3) - - \frac{( e ^{\frac{t}{2}} ) ^{2}}{6} - ln e^{\frac{t}{2}} : \frac{2}{3} e^{t} + 2 + \frac{1}{3} e^{t} + t

= \frac{2}{3} e^{t} + 2 + \frac{1}{3} e^{t} + t

定数を解答に追加する

= \frac{2}{3} e^{t} + 2 + \frac{1}{3} e^{t} + t + C

グラフ

人気の例

integral of (6x)/(1-x^2)

\int \frac{6 x}{1 - x ^{2}} d x

integral of sqrt(4-(x+1)^2)

\int 4 - (x + 1)^{2} d x

integral of x+4/(sqrt(x))

\int x + \frac{4}{x} d x

integral of x^2cos(4x^3)

\int x^{2} cos (4 x^{3}) d x

integral of-6arccos(3x)

\int - 6 arccos (3 x) d x