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Beliebt Rechnen >

integral of (e^{2x}+e^{5x})/(e^{3x)}

Lösung

\int \frac{e ^{2 x} + e ^{5 x}}{e ^{3 x}} d x

Lösung

- \frac{1}{e ^{x}} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{2 x} + e ^{5 x}}{e ^{3 x}} d x

Vereinfache

\frac{e ^{2 x} + e ^{5 x}}{e ^{3 x}} : \frac{1 + e ^{3 x}}{e ^{x}}

= \int \frac{1 + e ^{3 x}}{e ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1 + u ^{3}}{u ^{2}} d u

Multipliziere aus

\frac{1 + u ^{3}}{u ^{2}} : \frac{1}{u ^{2}} + u

= \int \frac{1}{u ^{2}} + u d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int u d u

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

= - \frac{1}{u} + \frac{u ^{2}}{2}

Setze in

u = e^{x}

ein

= - \frac{1}{e ^{x}} + \frac{( e ^{x} ) ^{2}}{2}

Vereinfache

- \frac{1}{e ^{x}} + \frac{( e ^{x} ) ^{2}}{2} : - \frac{1}{e ^{x}} + \frac{1}{2} e^{2 x}

= - \frac{1}{e ^{x}} + \frac{1}{2} e^{2 x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{e ^{x}} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

Graph

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