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人気のある微分積分 >

integral of 1/((4x^2-4x+5)^2)

解

\int \frac{1}{( 4 x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{2}} d x

解

\frac{1}{32} (arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - \frac{1}{2}))) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( 4 x ^{2} - 4 x + 5 ) ^{2}} d x

平方完成する

4 x^{2} - 4 x + 5 : 4 (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

= \int \frac{1}{( 4 ( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + 4 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{( 4 u ^{2} + 4 ) ^{2}} d u

因数

\frac{1}{( 4 u ^{2} + 4 ) ^{2}}

= \int \frac{1}{16 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{16} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

三角関数による置換を適用する

= \frac{1}{16} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

三角関数の公式を使用して書き換える

= \frac{1}{16} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

代用を戻す

= \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} (arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - \frac{1}{2})))

簡素化

\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} (arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - \frac{1}{2}))) : \frac{1}{32} (arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - \frac{1}{2})))

= \frac{1}{32} (arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - \frac{1}{2})))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{32} (arctan (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x - \frac{1}{2}))) + C

グラフ

人気の例

integral of sin(2x)x^3

\int sin (2 x) x^{3} d x

integral of 1/9 csc^2(x)+1/(x^2)

\int \frac{1}{9} csc^{2} (x) + \frac{1}{x ^{2}} d x

integral of x/(sqrt((x+2)^2-1))

\int \frac{x}{( x + 2 ) ^{2} - 1} d x

integral of 1/(ysqrt(9y^2-16))

\int \frac{1}{y 9 y ^{2} - 16} d y

integral of (x^2-3x+4)/(x^2)

\int \frac{x ^{2} - 3 x + 4}{x ^{2}} d x