integral of (4sin(x))/((1+cos^2(x)))

Lösung

\int \frac{4 sin ( x )}{( 1 + cos ^{2} ( x ) )} d x

4 arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int \frac{sin ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + 2} d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{2 u}{u ^{4} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{4} + 1} d u

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

Vereinfache

4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) : 4 arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

= 4 arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) + C

\int \frac{2 x ^{2} - 4 x + 3}{x - 2} d x

\int - π sin (π) θ d θ

\int x^{4} (1 - x)^{4} d x

\int 3 x^{4} - 17 + \frac{1}{x} - sin (x) d x

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9 e ^{x} - 22} d x