integral of (x^2)/(sqrt(6-x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{6 - x ^{2}} d x

3 (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{6} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{6 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 6 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 6 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 6 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 6 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{6} x)

ein

= 6 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{6} x)))

Vereinfache

6 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{6} x))) : 3 (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{6} x)))

= 3 (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{6} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 (arcsin (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{6} x))) + C

\int \frac{x ^{3}}{4 + 5 x ^{4}} d x

\int (csc^{2} (x) - 1) d x

\int (x^{'}) d x

\int \frac{12}{x ^{5}} + \frac{1}{4 x ^{8}} + \frac{6}{7 x ^{2}} d x

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{9}} d x