integral of (2/(x+x^3-5x))

Lösung

\int (\frac{2}{x + x ^{3} - 5 x}) d x

- 2 (\frac{1}{4} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x - 2 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2}{x + x ^{3} - 5 x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{x + x ^{3} - 5 x} d x

Vereinfache

= 2 \cdot \int \frac{1}{x ^{3} - 4 x} d x

Faktorisiere

x^{3} - 4 x : - (- x^{3} + 4 x)

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( - x ^{3} + 4 x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{- x ^{3} + 4 x} d x)

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{- x ^{3} + 4 x} : \frac{1}{4 x} - \frac{1}{8 ( x + 2 )} - \frac{1}{8 ( x - 2 )}

= 2 (- \int \frac{1}{4 x} - \frac{1}{8 ( x + 2 )} - \frac{1}{8 ( x - 2 )} d x)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- (\int \frac{1}{4 x} d x - \int \frac{1}{8 ( x + 2 )} d x - \int \frac{1}{8 ( x - 2 )} d x))

\int \frac{1}{4 x} d x = \frac{1}{4} ln ∣ x ∣

\int \frac{1}{8 ( x + 2 )} d x = \frac{1}{8} ln ∣ x + 2 ∣

\int \frac{1}{8 ( x - 2 )} d x = \frac{1}{8} ln ∣ x - 2 ∣

= 2 (- (\frac{1}{4} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x - 2 ∣))

Vereinfache

= - 2 (\frac{1}{4} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x - 2 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 (\frac{1}{4} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ x - 2 ∣) + C

\int \frac{1}{sec ( x ) - tan ( x )} d x

\int sin (2 x) e^{- 2 x} d x

\int (sin (nπ x)) d x

\int \frac{sin ( 3 t )}{cos ( 3 t - 1 )} d t

\int 2 x^{2} - 2 x + 2 d x