integral of te^{-kt}

Lösung

\int t e^{- k t} d t

\frac{1}{k ^{2}} (- k e^{- k t} t - e^{- k t}) + C

Schritte zur Lösung

\int t e^{- k t} d t

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{u} u}{k ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{k ^{2}} \cdot \int e^{u} u d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{k ^{2}} (e^{u} u - \int e^{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{k ^{2}} (e^{u} u - e^{u})

Setze in

u = - k t

ein

= \frac{1}{k ^{2}} (e^{- k t} (- k t) - e^{- k t})

Vereinfache

= \frac{1}{k ^{2}} (- k e^{- k t} t - e^{- k t})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{k ^{2}} (- k e^{- k t} t - e^{- k t}) + C

\int \frac{3 x}{( x - 1 ) ( x + 2 )} d x

\int \frac{1}{x ( 2 + x )} d x

\int \frac{- 6 x + 18}{( x ^{2} + 9 ) ^{2}} d x

\int sin^{5} (x) d sin (x) d x

\int 12 x^{5} + \frac{1}{x ^{2}} - e^{3 x} d x