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integral of e^{-ax}cos(wx)

Lösung

\int e^{- a x} cos (w x) d x

Lösung

\frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- a x} cos (w x) d x

Wende die partielle Integration an

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - \int - a e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- a \frac{1}{w} \cdot \int e^{- a x} sin (w x) d x)

Vereinfache

- a \frac{1}{w} : - \frac{a}{w}

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} sin (w x) d x)

Wende die partielle Integration an

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \int a e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) d x))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - a \frac{1}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

Vereinfache

a \frac{1}{w} : \frac{a}{w}

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

Deshalb

\int e^{- a x} cos (w x) d x = e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

Isoliere

\int e^{- a x} cos (w x) d x

= \frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} + C

Graph

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