integral of (sin(3x))^3

Lösung

\int (sin (3 x))^{3} d x

\frac{1}{3} (- cos (3 x) + \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int (sin (3 x))^{3} d x

Vereinfache

= \int sin^{3} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{3} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int - 1 + v^{2} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (- \int 1 d v + \int v^{2} d v)

\int 1 d v = v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= \frac{1}{3} (- v + \frac{v ^{3}}{3})

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} (- cos (3 x) + \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (- cos (3 x) + \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3}) + C

\int x 4 x - 3 d x

\int \frac{3}{u} d u

\int \frac{- 8}{x} d x

\int 3 6 x + 1 d x

\int 2 x \cdot 1 - x^{2} d x