интеграл от sin(2x)(cos(2x))^4

Решение

\int sin (2 x) (cos (2 x))^{4} d x

- \frac{1}{10} cos^{5} (2 x) + C

Шаги решения

\int sin (2 x) (cos (2 x))^{4} d x

После упрощения получаем

= \int cos^{4} (2 x) sin (2 x) d x

Применить подстановку интеграла

= \int cos^{4} (u) sin (u) \frac{1}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int cos^{4} (u) sin (u) d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} \cdot \int - v^{4} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int v^{4} d v)

Применить правило показателя степени

= \frac{1}{2} (- \frac{v ^{5}}{5})

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{5} ( 2 x )}{5})

Упростите

\frac{1}{2} (- \frac{cos ^{5} ( 2 x )}{5}) : - \frac{1}{10} cos^{5} (2 x)

= - \frac{1}{10} cos^{5} (2 x)

Добавить константу к решению

= - \frac{1}{10} cos^{5} (2 x) + C