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integral of 1/(sin^2(x)+3cos^2(x))

Lösung

\int \frac{1}{sin ^{2} ( x ) + 3 cos ^{2} ( x )} d x

\frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{sin ^{2} ( x ) + 3 cos ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{cos ( 2 x ) + 2} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( cos ( u ) + 2 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{cos ( u ) + 2} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{v ^{2} + 3} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 3} d v

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{3 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} arctan (w)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( \frac{2 x}{2} )}{3})

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( \frac{2 x}{2} )}{3}) : \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3})

= \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3}) + C

\int (x + 9)^{4} d x

\int - \frac{4000}{( 1 + 0.4 t ) ^{2}} d t

\int x^{\frac{1}{4}} + 8 d x

\int \frac{0.4 x ^{3}}{0.2 x ^{4} + 8000} d x

\int cos^{5} (x) (- sin (x)) d x